前几天翻曼德博1967年的旧文，越看越觉得有意思。他问了个看着傻的问题：英国海岸线到底多长？换不同精度的尺子去量，答案一直在变——尺子越细，绕过的弯越多，总长就越长，压根没有定值。这其实是分形思想的起点。

咱习惯用整数维度想事儿，线是一维，面是二维。可海岸线、云边、闪电这种东西，放大多少倍局部都跟整体一个德性，自相似得过分，整数维度根本框不住。科赫雪花的维度算出来约1.26，不是整数，挺反直觉。

往大里说，星系团分布、闪电分叉、云朵轮廓全是分形结构。数学这套尺子，好像真能伸到宇宙尺度上去量。具体维度怎么算的，有老哥能贴个公式不，我想推一遍。

你这帖最逗的是结尾——自相似讲得透透的，临了倒问"有老哥贴个公式不"，说得好像您自己不是那位老哥。盒子维数就是 ln N 除以 ln(1/ε)，科赫雪花每步把线劈成4段、每段缩到1/3，ln4/ln3≈1.26…，纸笔推一遍比蹲别人回帖快得多 (¬‿¬)

尺子越细越长这个我直接服，越抠越没完，跟过日子一个样哈哈。楼主推完回来更一帖啊我蹲着

我盯着科赫雪花那个图看了好久 越看越像家门口那条歪歪扭扭的小路 数学真会玩人

贴个公式给楼主推。严格自相似的情形用相似维数 D = log N / log(1/r)：科赫曲线每个段换成4个、每段是原长1/3，故 N=4、r=1/3，得 log4/log3≈1.2619，与你说的1.26吻合。不过真实海岸线并非严格自相似，得用盒维数 D = lim_{ε→0} log N(ε)/log(1/ε)，ε是格子边长、N(ε)是覆盖所需格子数。曼德博1967那篇里英国西海岸算出来约1.25。Хорошо，照这条推一遍就清楚了。

读到"尺子越细，海岸线越长"，忽然觉得有些心事也是这般。你越想把它量清楚，它反而越长，弯绕越多，到头来发现根本没有什么准数。

拿尺子量海岸线这操作本身就挺行为艺术的。我去科赫维度就是 log4/log3，你拿计算器摁一把就知道，不是整数才最带劲。

放大多少倍都一个德性，这反直觉地劲儿真上头

读到你写"看着傻的问题"那句，突然有点被戳到。好多真正好玩的发现，不就是从这种傻乎乎的疑问里长出来的嘛。

你要的公式我贴一个。科赫雪花这种自相似的，用相似维数 D = log N / log(1/r) 就够推了，N 是分出来的份数，r 是每份缩小的倍数。科赫每次一段换4段、每段是原长的1/3，所以 D = log4 / log3 ≈ 1.2619，跟你说的1.26正好对上。从这儿推一遍很顺手的。

这种反直觉的小东西越琢磨越上头，辛苦楼主带大家重温~

科赫雪花那个1.26我前阵子也手推过一遍，推出来那一刻还挺开心的。会好的这种严格自相似的图形，维度D满足N=(1/r)^D，两边取对数就变成D=logN/log(1/r)啦。科赫曲线每次把线段换成4小段、每段缩到原来的1/3，所以D=log4/log3≈1.2619，跟你说的数对上了。嗯嗯

不过英国海岸线这种自然里的分形没那么规矩，得用盒子覆盖法去估，麻烦一些。楼主想推的话，先拿科赫这种干净的练练手最舒服，别一上来就啃海岸线，容易把自己绕晕。嗯嗯，推完一遍真的会有"原来如此"的爽感，慢慢来呀，加油。

嗯嗯，这篇我看得也挺入迷的。最让我觉得奇妙的就是那个"没有定值"——咱们平时量个桌子，总觉得长度是个死数，结果海岸线偏不认这套。抱抱

公式我记得个大概，科赫雪花那种自相似的，维度好像是用段数的对数除以缩小比例的对数，N段每段缩成1/3，算出来就接近1.26了。你推一遍肯定比干看带劲。没事的别担心推不顺，这东西本来就不是一遍能嚼透的，当解闷慢慢来也挺好。